Opiniónes personales

Julio

Me ha sorprendido encontrar tanta información sobre los fractales y tan rápidamente, ya que, hasta ahora no sabía que eran tan comunes a nuestro alrededor. He aprendido que revolucionaron el mundo de las matemáticas, la física, la robótica…

Además el trabajo en grupo ha facilitado el trabajo, ya que nos sentíamos a gusto investigando.

Un punto que me ha llamado la atención ha sido el de los fractales famosos, donde encontramos imágenes y videos muy sorprendentes.

Alex

Mientras buscábamos y resumíamos la información aprendíamos la importancia de los fractales y sus uso de la vida cotidiana, he aprendido algo nuevo.

Me ha parecido una buena forma de adentrarnos en el mundo fractal, las personas más importantes y sus distintas aplicaciones.

Bosco

Anteriormente he intentado buscar “fractal” en google aunque, tras leer unas pocas definiciones, no comprendía el significado de este término. Y es que, solo podría comprenderlo completamente si los conocía a fondo, si sabía de su frecuente manifestación en la naturaleza, o de su utilidad.

Por esta misma razón propuse al grupo investigar sobre este tema, y me alegro de haberlo hecho, ya que, cada vez que vea un mapa recordare que cada una de sus costas es una forma fractal, cada vez que vea un pedazo de brócoli me vendrá a la mente la imagen del extraño romanescu.

José Manuel

Para mí el trabajo ha sido un buen tema ya que se ha podido extraer una gran información, añadir el aprendizaje de los fractales para todo el grupo (la vida de los matemáticos mas importantes en el mundo de los fractales y los fractales más importantes creados por ellos) añadir por ultimo que ha sido un tema que como hemos aprendido se puede utilizar habitualmente.

Fractales en la naturaleza

            

• El brócoli romanesco mostrando su naturaleza fractal. Los fractales muestra auto-similaridad, o estructura comparable independientemente de la escala. En otras palabras, un pequeño pedazo de este brócoli, cuando se observa al detalle, tiene un aspecto similar al de un pedazo grande. 

            

• Los copos de nieve también son fractales. La curva de Koch es un fractal que aparenta un copo de nieve perfecto si se pone tres veces sobre un triángulo equilátero

• Una costa es algo irregular, se curva a veces mucho, hay pedazos más rectos que otros, bahías pequeñas y grandes, hay desembocaduras de ríos, entre muchas otras cosas. Una manera de medirla es usar un mapa o una fotografía aérea y medir la costa en el mapa.

• Con las nubes ocurre lo mismo. De lejos, observamos una nube, pero, si nos acercamos a ella, apreciamos muchos fragmentos que son nubes independientes. Y cada nube independiente está formada por muchas más nubes minúsculas.

Aplicaciones de los fractales

        

•  Pintura

1. El análisis computerizado está ayudando a explicar el atractivo de las pinturas de Jackson Pollock (1912-1956). Los famosos goteos y marañas de este artista crean motivos fractales similares a los que árboles y nubes forman en la naturaleza. El análisis de su obra ha ayudado a comprender que existen preferencias visuales por las configuraciones fractales.

                                                                           

1. Obras como El rostro de la guerra de Salvador Dalí contienen ilusiones ópticas basadas en los cubos de Necker y de Koffka

• Una de las aplicaciones más sencillas que tiene la geometría fractal es el cálculo de la edad de los pinos jóvenes. Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi inagotable de fractalidad en la naturaleza. Los pinos, en concreto, presentan unas pautas de crecimiento muy sencillas que permiten incluso al observador menos experimentado calcular su edad muy fácilmente.
• Existen diversas técnicas para la creación de paisajes usando técnicas fractales, una de las más habituales es la llamada técnica del desplazamiento del punto medio ( se utilizaron en peliculas como star-wars o star-trek para ahorra en presupuesto y simplificar su realizacion).

• Análisis de terremotos, controla las irregularidades que se producen en este para predecir el peligro.

Fractales Famosos

Triangulo de Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente unimos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4.Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. 

Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos.

Curva de koch

El creador en 1904 de este monstruo fue Niels Fabian Helge von, matemático sueco.  

Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como muestra la animación en la iteración n=1.  Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.   

                                 

Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Koch, a partir de un hexágono, de un cuadrado... se denominan fractales de Cesaro.

Esponja de Menger

En matemáticas, la esponja de Menger (a veces llamada cubo de Menger) es un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger.

Propiedades:

• Son que es un conjunto compacto,
• No numerable
• De medida de Lebesgue nula
• Su dimensión  fractal de Hausdorff es: log 20 / log 3 = 2.7268
  

     

  Como se construye la esponja de Merger

  
  

  La construcción de la esponja de Menger se define de forma recursiva:

  Comenzamos con un cubo (primera imagen).

  Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik.

  Eliminamos los cubos centrales de cada cara y el cubo central, dejando sólamente 20 cubos (segunda imagen).

  Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los cubos menores resultantes.

  La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

  
  

  
  

  

La estructura de la esponja de Menger se repite a diferentes escalas.

Curva de Hilbert

Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (Orden 2).  Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En la figura alcanzamos la tercera iteración. Con paciencia, repetimos el procedimiento infinitamente. En el límite obtendremos la curva de Hilbert.

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros, como hicimos en clase.

Matemáticos influyentes

  

• Benoît Mandelbrot (Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924 – Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de 2010) Es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas.

• En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitales.

• Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal, en un artículo que escribió en el hospital, tras ser herido en la 1º Guerra Mundial, hablo sobre el conjunto de Julia.

En 1919, Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoría geométrica de la medida.

¿Qué son y de donde surgen?

“La geometría fractal cambiará a fondo su visión de las cosas.

Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente su visión   inofensiva de las nubes, bosques, galaxias, hojas, flores, rocas, montañas, tapices y otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de estos objetos que hasta ahora le eran familiares”.

                                                                       Michael Barnsley (1988)

 Definición

Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos. Su principal propiedad es que su aspecto y distribución no varía de acuerdo a la escala con que se observe.

Tres propiedades:

• Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos auto semejantes).
• Figuras con dimensiones no enteras (dimensión fractal)
• Conjuntos que aparecen tras procesos repetidos infinitos.

Origen

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuye al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York, y se reconocen a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta.

La teoría de la geometría de los fractales, en la empresa IBM intentaban solucionar un problema de ruido en las comunicaciones telefónicas de los ordenadores. Fue Mandelbrot, quien trabajaba en dicha compañía, quien descubrió que el fallo se encontraba en la distribución errónea del flujo de la información, ya que existía  una relación geométrica entre los periodos de ruido y los periodos sin él, que se podía comprobar visualmente y representar en un grafico.

Diferencia con la geometría clásica

Es la única geometría capaz de explicar formas encontradas en la naturaleza (montañas, copos de nieve…)

La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difíciles de medir.

• Mientras que la tradicional tiene más de 2000 años, la fractal tiene aproximadamente unos 30 años
• Mientras que la clasica trata objetos hechos por el hombre la fractal trata las formas naturales.
• Mientras la clasica esta descrita por formulas la fractal está descrito por un algoritmo recursivo(iteración).