Triangulo de Sierpinski
El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente unimos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4.Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.
Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos.
Curva de koch
El creador en 1904 de este monstruo fue Niels Fabian Helge von, matemático sueco.
Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como muestra la animación en la iteración n=1. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.
Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Koch, a partir de un hexágono, de un cuadrado... se denominan fractales de Cesaro.
Esponja de Menger
En matemáticas, la esponja de Menger (a veces llamada cubo de Menger) es un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger.
Propiedades:
- Son que es un conjunto compacto,
- No numerable
- De medida de Lebesgue nula
- Su dimensión fractal de Hausdorff es: log 20 / log 3 = 2.7268
Como se construye la esponja de Merger
La construcción de la esponja de Menger se define de forma recursiva:Comenzamos con un cubo (primera imagen).Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik.Eliminamos los cubos centrales de cada cara y el cubo central, dejando sólamente 20 cubos (segunda imagen).Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los cubos menores resultantes.La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.
La estructura de la esponja de Menger se repite a diferentes escalas.
Curva de Hilbert
Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (Orden 2). Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En la figura alcanzamos la tercera iteración. Con paciencia, repetimos el procedimiento infinitamente. En el límite obtendremos la curva de Hilbert.
Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros, como hicimos en clase.
